NHỮNG NGƯỜI THẦY ĐÃ DẠY TÔI TẠI KHOA TOÁN – CƠ – TIN TRƯỜNG ĐẠI HỌC TỔNG HỢP HÀ NỘI

(Bài viết nhân kỷ niệm 50 năm Bộ môn Giải tích (1956-2006),
Khoa Toán – Cơ – Tin, Trường ĐH Tổng hợp Hà Nội,
nay là ĐH Khoa học tự nhiên, ĐH Quốc gia HN)

Vào một ngày tháng 9 năm 1965, tôi và các bạn mình rất vui khi nhận được giấy triệu tập vào học Lớp chuyên Toán đầu tiên (Khoá I, 1965–1967) của Trường Đại học Tổng hợp Hà Nội (ĐHTH HN). Giấy triệu tập do Phó Hiệu trưởng GS. TSKH. Lê Văn Thiêm ký. Lúc đó, là một học trò quê, nên tôi chưa hiểu được rằng người ký chính là một nhà Toán học Việt Nam xuất sắc. Sau này tôi được biết GS. Lê Văn Thiêm là người anh cả của nền Toán học Việt Nam hiện đại và là người dẫn dắt đầu tiên của Bộ môn Giải tích của ĐHTH HN từ khi mới thành lập. Một sự ngẫu nhiên nhưng hình như tiền định: Người ký giấy gọi tôi vào học lớp chuyên Toán ĐHTH HN là một nhà giải tích đầu tiên của Việt Nam và rồi về sau này tôi cũng được học và làm về giải tích.

May mắn cho chúng tôi, những học sinh chuyên Toán Khoá I, các giáo sư, các thầy dạy môn chính đều là những nhà toán học tài ba của Khoa và Bộ môn Giải tích như các Giáo sư Hoàng Tụy (dạy lôgic toán và toán học hữu hạn), Phan Đức Chính (dạy đại số), Hoàng Hữu Đường, Nguyễn Thừa Hợp và Lê Minh Khanh (dạy hình học), Nguyễn Duy Tiến (dạy bài tập hình học), Đặng Hữu Đạo và Nguyễn Viết Phú (dạy bài tập đại số). Đã 40 năm trôi qua nhưng tôi vẫn còn nhớ những kỷ niệm sâu sắc về tâm huyết và tài năng sư phạm của các thầy giáo của mình. Mặc dù rất hiếm khi, nhưng lớp A₀ chúng tôi ngày ấy cũng đã được đón GS. Bộ trưởng Tạ Quang Bửu, GS. Hiệu trưởng Ngụy Như Kon Tum và GS. Phó Hiệu trưởng Lê Văn Thiêm đến thăm, nói chuyện hoặc giảng bài.

Các bài giảng đầu tiên của PGS. TS. Phan Đức Chính về hàm số sơ cấp và đồ thị của nó, về giới hạn của các dãy số vô hạn,... trong
Đại số lớp 9 và lớp 10 đã dạy chúng tôi làm quen với những khái niệm, tư duy mới khi chuyển từ toán học rời rạc sang toán học liên tục. Lúc đó thầy Chính mới đỗ tiến sĩ từ Đại học Tổng hợp Lô-mô-nô-xôp Mat-xcơ-va (MGU), Liên Xô (cũ) về đang đầy nhiệt huyết và tài năng, muốn truyền cho lớp trẻ. Thầy Phan Đức Chính là đồng tác giả của cuốn sách nổi tiếng “Measure, Integral, Derivative in Linear Space” G. E. Shylov, Phan Đức Chính (Nauka, Moskva 1967, nguyên bản tiếng Nga, được dịch ra tiếng Anh, tiếng Tiệp) đã để lại cho thế hệ học trò chúng tôi những ấn tượng rất tốt đẹp. Các bài toán và các câu hỏi trong mỗi một bài tập mà thầy ra cho học trò khi làm bài kiểm tra và khi thi thường được thầy xếp theo thứ tự khó dần, gợi mở dần và ít khi “đánh đố”. Tôi được nghe các thầy cô khoa Toán kể lại rằng những năm khi thầy Chính mới bảo vệ xong luận án TS về nước để giảng dạy và nghiên cứu khoa học tại khu sơ tán, thầy say mê đọc sách, soạn bài và nghiên cứu khoa học suốt ngày đêm, bám chặt chiếc bàn làm việc đến mức mòn cả cái ghế ngồi.

Trong những ngày sơ tán tại Thạch Nham (Hà Đông cũ), PGS. TS. Hoàng Quốc Toàn và tôi còn được đọc tập thơ chép tay công phu, dài và rất hay của thầy Phan Đức Chính, trong đó có những bài thơ tiền chiến và những bài thơ tình bất hủ của các nhà thơ nổi tiếng. Trong tập thơ chép tay của thầy tôi thích nhất là bài thơ “Tây tiến” của Quang Dũng, bài thơ “Bên kia sông Đuống” của Hoàng Cầm và bài “Núi đôi” của Vũ Cao. Đã có những thời khắc, nhà toán học trẻ Phan Đức Chính có hân hạnh được tiếp trà và đàm đạo với Văn Cao, người nghệ sĩ kiệt xuất, về những bản nhạc tiền chiến của Ông. Mấy tháng trước đây tôi vào thăm thầy ở Bệnh viện Hữu nghị và ngày 15/9 vừa rồi tôi được dự lễ mừng thọ 70 tuổi của thầy do khối chuyên Toán – Tin
tổ chức, tôi thấy thầy đã yếu đi nhiều, nhưng đôi mắt vẫn còn sáng, trí tuệ minh mẫn và hai thầy trò nắm chặt tay nhau. Sau này tôi vẫn thường có dịp được gặp, tâm sự và uống rượu với thầy trong các hoạt động của Khối chuyên Toán – Tin hoặc Tổ Giải tích của Khoa Toán – Cơ – Tin, Trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN. Có thể nói gọn lại rằng thầy Phan Đức Chính của chúng tôi là một nhà toán học tài ba, một nhà sư phạm mẫu mực và một người Hà Nội gốc theo nghĩa văn hoá rộng của từ này.

Có một người thầy mặc dù không ở Tổ Giải tích, Ông là một chuyên gia về lôgic toán, một “môn đệ” của ông tổ Alan Turing (1912–1954, người Anh), nhưng rất “giải tích” và đã dạy cho Lớp Toán chúng tôi năm thứ nhất và năm thứ hai (1967 và 1968) từ những khái niệm đầu tiên của Giải tích Toán học một cách bài bản, chính xác và rất sư phạm, đó là PGS. TS. Nguyễn Hữu Ngự. Khi đó thầy mới đỗ tiến sĩ từ Đại học Tổng hợp Lô-mô-nô-xôp Mat-xcơ-va (MGU), Liên Xô (cũ), về nước và lên ngay khu sơ tán. Mặc dù đã hơn nửa thế kỷ trôi qua, kể từ ngày đó, nhưng Ông vẫn nhớ như in và xúc động kể lại: Khi đang suy nghĩ, cân nhắc để tìm hướng nghiên cứu cho luận án tiến sĩ của mình thì tình cờ đúng lúc đó GS. Bộ trưởng Tạ Quang Bửu đi công tác qua Mat-xcơ-va và Ông đã tranh thủ cơ hội này đến gặp để yết kiến và xin được chỉ giáo. GS. Tạ Quang Bửu đã khuyên Ông nên đi sâu nghiên cứu lôgic toán và khoa học máy tính theo hướng của Alan Turing. Hôm nay, khi ôn lại câu chuyện ấy, thầy Ngự, thầy Nguyễn Duy Tiến và tôi, những người cùng nghe, càng khâm phục GS. Tạ Quang Bửu về sự hiểu biết sâu sắc và tầm nhìn xa như vậy. Là một Bộ trưởng bác học, GS. Tạ Quang Bửu không chỉ khuyên bảo cá nhân những con người cụ thể mà còn có chiến lược xây dựng đội ngũ các nhà khoa học Việt Nam trong các lĩnh vực then chốt và mũi nhọn.

Từ cách dạy, từ tác phong, ăn mặc cho đến sự chính xác, đúng giờ, thầy Ngự đã gây ấn tượng rất thuyết phục cho chúng tôi từ những ngày ấy. Đi thi vấn đáp mà gặp thầy Ngự thì chúng tôi ai cũng sợ, vì các câu hỏi thêm hóc búa của thầy. Ví dụ: Bạn Nguyễn Gia Liên quê Thanh Hoá cùng lớp tôi, sau khi làm xong phần chính bài thi Giải tích năm thứ nhất rất nhanh chóng và khá tốt, thì được thầy Ngự ra thêm câu hỏi phụ. Thầy Ngự hỏi anh Liên: Dãy số sin n (n = 1, 2,...) có bị chặn không? Anh Liên trả lời: “Thưa thầy, có ạ!”. Thầy Ngự hỏi tiếp: “Thế em có thể trích được một dãy con hội tụ không?”. Anh Liên nhanh nhảu đáp: “Em trích được ngay ạ!”. Thầy Ngự cười hóm hỉnh nói “thế em làm đi” và vừa tiếp tục hỏi thi các sinh viên khác vừa kiên trì chờ đợi “dãy con hội tụ” của bạn Liên trong khoảng 4–5 tiếng đồng hồ liên tục, suốt từ sáng cho đến chiều, nhưng cuối cùng thất vọng. Từ ngày đó đến nay đã 43 năm trôi qua. Gần đây tôi có hỏi thầy Ngự xem trả lời câu hỏi thêm đó của thầy như thế nào. Thầy cũng đã có một cách giải từ trước khi hỏi thi bạn Liên. Qua trao đổi với GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh và GS. TS. Nguyễn Hữu Dư (em trai thầy Nguyễn Hữu Ngự) tôi được biết rằng câu trả lời cũng có thể tìm thấy trong cuốn sách “Problems in Math. Anal. I” của hai tác giả W. J. Kaczor và M. T. Nowak. Té ra câu hỏi thêm đó của thầy Ngự rất hay nhưng khó, nó có vẻ đơn giản nhưng lại liên quan đến một vấn đề sâu hơn, rộng hơn tương tự như tính ergodic: Tập hợp các điểm tụ của dãy số sin n
(n = 1, 2, 3,...) là toàn bộ đoạn [–1; 1]. Thật là bất ngờ và thú vị!
Tuy nhiên, kỹ thuật cụ thể để trích ra ít nhất một dãy con hội tụ (ví dụ về số 0) của dãy sin n thì không phải đơn giản lắm.

Tôi thì “bị” thầy Ngự cho câu hỏi thêm như sau: “Khai triển Fourier hàm số f(x) = sin (x/3) ”. Sau khi tìm các hệ số của khai triển Fourier theo công thức đã biết tôi được chuỗi sin (x/3), vì tất cả các hệ số khác đều bằng 0. Thầy Ngự hỏi tôi tiếp: “Có thể không cần tính toán gì mà biết sin (x/3) chính là chuỗi Fourier của hàm f(x) không?”

Tôi đã rất lúng túng, nhưng cũng may lúc đó tôi mang máng nhớ đến một kết quả nào đó nói rằng nếu có hai chuỗi Fourier hội tụ đều về cùng một hàm số f(x) trên đoạn [–π; π] thì chúng phải trùng nhau trên đoạn đó. Sau khi ra khỏi phòng thi, TS. Đặng Văn Hưng, một người bạn cùng học đại học với tôi lúc đó, khẳng định với tôi rằng đúng là có một kết quả như vậy và làm cho tôi yên tâm. Sau này
thầy Ngự nói rằng định lý này có ngay trong giáo trình của
G. N. Phichtengon và anh Hưng còn nói thêm với tôi rằng điều tương tự cũng đúng đối với khai triển Taylor. Như vậy, những khai triển Fourier hoặc Taylor của một hàm số nếu có thì duy nhất. Gần đây, thay vì đi tìm, tôi thử tự chứng minh lại hai định lý đó và thấy chứng minh cũng không khó lắm. Cả hai câu hỏi thêm khá hay nói trên về giải tích toán học do người anh, PGS. TS. Nguyễn Hữu Ngự, đặt ra từ 43 năm trước, nay người em trai, GS. TS. Nguyễn Hữu Dư, vừa trao đổi thêm với tôi về cách trả lời.

Trong những năm đầu đại học, ở lớp toán chúng tôi còn được học một số thầy cô trẻ và giỏi khác, như PGS. TS. Nguyễn Quốc Toản đã dạy chúng tôi môn Đại số tuyến tính, TS. Nguyễn Viết Phú môn Bài tập giải tích, thầy Hoàng Gia Khánh môn Phương trình đạo hàm riêng, TS. Nguyễn Văn Lâm môn Giải tích phức, TS. Trần Đức Long môn Giải tích hàm và Tôpô, PGS. TS. Nguyễn Thị Ngọc Quyên môn Cơ học lý thuyết,... Ở lớp Cơ, GS. TS. Nguyễn Quý Hỷ dạy lý thuyết giải tích, GS. TS. Đặng Huy Ruận chữa bài tập. Sau này khi học sang năm thứ ba đại học, PGS. TS. Đặng Đình Châu và tôi được phân vào Ban Phương trình vi phân. GS. TS. Nguyễn Thế Hoàn, GS. TS. Vũ Tuấn và PGS. TS. Võ Đức Tôn đã dạy cho chúng tôi những bài học đầu tiên và những tư tưởng cơ bản của A. M. Lyapunov về Lý thuyết ổn định của các hệ động lực và các chuyển động tuần hoàn, hầu tuần hoàn,... Khi được đi ra nước ngoài và tìm hiểu sâu thêm, tôi càng thấy tư tưởng của Lyapunov về số mũ hay hàm số (nay mang tên Ông) và của H. Poincaré về các hệ động lực thật là vĩ đại.

Bước sang năm thứ tư, GS. TSKH. Hoàng Hữu Đường đã dạy cho chúng tôi một chuyên đề rất mới về lý thuyết ổn định của các phương trình vi phân có tham biến ngẫu nhiên, dựa theo một cuốn sách mới được xuất bản của R. Z. Khasminskii, một chuyên gia về xác suất và giải tích ngẫu nhiên, chứ không phải về lý thuyết ổn định của các hệ động lực tiền định. Có thể nói GS. Hoàng Hữu Đường là một trong số các nhà toán học Việt Nam xuất sắc, tự học, tự nghiên cứu là chính, nhưng đã có đóng góp quan trọng khi phát triển lý thuyết số mũ Lyapunov thành lý thuyết vectơ đặc trưng. GS. Hoàng Hữu Đường là người luôn đi tiên phong trong các lĩnh vực mới của lý thuyết điều khiển tối ưu, lý thuyết ổn định Lyapunov của các hệ động lực tiền định và ngẫu nhiên, lý thuyết kỳ dị, phương trình vi phân trên các đa tạp khả vi,... Dưới ảnh hưởng và sự dìu dắt ban đầu của GS. TSKH. Hoàng Hữu Đường, một loạt các nhà toán học tài năng, nếu không phải là học trò thì cũng là cộng sự của Giáo sư, đã trở thành các chuyên gia rất có uy tín ở trong nước và quốc tế trong các lĩnh vực liên quan, như GS. TSKH. Phạm Hữu Sách (nguyên Viện trưởng Viện Toán học, chuyên gia về điều khiển tối ưu của các hệ động lực rời rạc, liên tục, đa trị), GS. TS. Nguyễn Thế Hoàn (lý thuyết ổn định và tiệm cận của các phương trình vi phân trong không gian hữu hạn và vô hạn chiều), GS. TS. Vũ Tuấn (ĐHSP HN, ổn định của các hệ động lực), TS. Đoàn Trịnh Ninh, PGS. TS. Võ Đức Tôn, TSKH. Phạm Trần Nhu (Viện CNTT, Viện HLKHCN Việt Nam, lý thuyết tối ưu và điều khiển ngẫu nhiên), PGS. TS. Đặng Đình Châu, TS. Trần Thị Đệ,
PGS. TS. Cấn Văn Tuất (ĐHSP HN), GS. TSKH. Nguyễn Văn Minh (Giáo sư tại Mỹ, đã được nhận Học bổng Nghiên cứu A.v. Humboldt tại CHLB Đức, chuyên gia về lý thuyết định tính các phương trình vi phân và giải tích hàm), TS. Tôn Quốc Bình,...

Năm 1983–1984, khi đang được nhận học bổng nghiên cứu mang tên A. Humboldt tại CHLB Đức, tôi đã giới thiệu những kết quả nghiên cứu rất có giá trị của GS. Hoàng Hữu Đường và GS. Nguyễn Thế Hoàn về số mũ Lyapunov cho GS. Ludwig Arnold, một chuyên gia có uy tín quốc tế về giải tích ngẫu nhiên, đang giảng dạy tại Đại học Tổng hợp Bremen (CHLB Đức). Tôi đã đề nghị GS. L. Arnold mời GS. Hoàng Hữu Đường và GS. Nguyễn Thế Hoàn tham dự và báo cáo ở Hội thảo quốc tế tại Bremen (năm 1984) về Lý thuyết và ứng dụng của số mũ Lyapunov và GS. L. Arnold đã đồng ý. Các báo cáo khoa học của GS. Đường và GS. Hoàn đã để lại cho GS.
L. Arnold và những chuyên gia hàng đầu tại Hội thảo Bremen những ấn tượng tốt đẹp về trình độ chuyên môn và tính sư phạm khi trình bày vấn đề. Sau hội thảo tại Bremen, GS. Đường tiếp tục đi báo cáo và nghiên cứu khoa học tại Đại học Paris 7.

GS. L. Arnold và trường phái của mình quan tâm nghiên cứu lý thuyết số mũ Lyapunov của các hệ động lực ngẫu nhiên và các ứng dụng quan trọng của nó trong cơ học lượng tử, vật lý, sinh học,... Sau này, khi nhận học bổng Humboldt, GS. TSKH. Nguyễn Đình Công, Phó Chủ tịch Viện HLKHCNVN, cũng đã trở thành một cộng tác viên đắc lực của nhóm nghiên cứu Arnold. GS. TS. Nguyễn Hữu Dư, Phó Hiệu trưởng Trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐHQG HN, tác giả của nhiều công trình khoa học có giá trị trong các lĩnh vực khác nhau, nói riêng những kết quả của anh về số mũ Lyapunov và ổn định ngẫu nhiên đã được nhóm của GS. L. Arnold rất quan tâm và đánh giá cao.

Tôi còn nhớ có lần khi tham dự một seminar tại CHLB Đức năm 1984, có người nói thế này: Nếu để K. Itô (1915–2008, người Nhật, Giải thưởng Wolf năm 1987 và Giải thưởng Gauss năm 2006) riêng một mình với vẻ đẹp hoàn hảo của phép tính vi phân và tích phân ngẫu nhiên thì thấy ông ta đã là một nhà toán học lớn. Nhưng nếu đặt Itô bên cạnh người khổng lồ A.M. Kolmogorov (1903–1987, người Nga, Giải thưởng Lênin năm 1965, Giải thưởng Wolf năm 1980 và Giải thưởng Lobachesky năm 1987), người không chỉ là cha đẻ của hệ tiên đề lý thuyết xác suất mà còn góp phần sinh ra nhiều lý thuyết toán học hiện đại quan trọng khác, thì Ito sẽ bị cây đại thụ Kolmogorov che khuất. Càng đi sang phương Tây, Đông Bắc Á và phương Nam thì tôi càng thấy trường phái toán học Xô Viết là một trong những trường phái toán học xuất sắc trên thế giới, đã đóng góp cho loài người nhiều tư tưởng toán học vĩ đại, nhất là trong lĩnh vực của giải tích toán học như các phương trình vi phân thường, vi phân đạo hàm riêng và hàm thực, hàm phức, giải tích hàm,...

Trong nửa thế kỷ trưởng thành và phát triển vừa qua của Bộ môn Giải tích, Trường ĐH Tổng hợp HN, chúng ta đã học tập và chịu ảnh hưởng của nhiều nền toán học và các trường phái giải tích toán học khác nhau trên thế giới như châu Âu, Bắc Mỹ, Đông Bắc Á,...
Nhưng trong số đó có lẽ nền Toán học Xô Viết là có ảnh hưởng trực tiếp hoặc gián tiếp (thông qua các nước XHCN) mạnh mẽ nhất. Một phần lý do của ảnh hưởng to lớn của nền toán học Xô Viết đối với toán học Việt Nam trong nửa sau thế kỷ XX là nhiều người Việt Nam được cử đi học tập và nghiên cứu toán học ở Liên Xô (cũ) và nguồn sách báo ngoại chủ yếu trong những năm chiến tranh bằng tiếng Nga. Các thầy cô giáo giải tích của chúng ta như Hoàng Tụy, Phan Đức Chính, Nguyễn Thừa Hợp, Phạm Ngọc Thao, Hoàng Hữu Đường, Nguyễn Thế Hoàn, Nguyễn Văn Mậu, Trần Huy Hổ, Nguyễn Thủy Thanh, Hoàng Quốc Toàn, Võ Đức Tôn, Mai Thúc Ngỗi, Nguyễn Văn Minh, Đặng Đình Châu, Trần Thị Đệ, Nguyễn Văn Xoa, Nguyễn Đình Dũng,... đều được đào tạo chính quy hoặc một phần tại Liên Xô (cũ). Mặc dù tôi bảo vệ TS và TSKH ở Hungary, nhưng thầy tôi, GS. TSKH. Farkas Miklo’s, và các giáo sư giải tích toán học người Hung mà tôi quen biết cũng phần lớn theo trường phái toán học Nga.

Thế mà đã nửa thế kỷ của Bộ môn Giải tích chúng ta trôi qua. Thật tự hào với những đóng góp to lớn của Bộ môn cho sự nghiệp đào tạo, nghiên cứu và ứng dụng toán học của ĐHQG Hà Nội, cho nền Toán học Việt Nam và cho công cuộc bảo vệ và xây dựng đất nước. Mười năm, hai mươi năm,... năm mươi năm nữa, Bộ môn Giải tích của chúng ta sẽ ra sao? Điều đó phụ thuộc vào chúng ta hôm nay và thế hệ các nhà giải tích tài ba trong tương lai, những người sẽ được đào tạo tại Bộ môn Giải tích, tại Việt Nam và nước ngoài về.

Trần Văn Nhung

(Bài viết vào mùa Thu năm 2006 và được bổ sung vào mùa Thu 2011)